Quien ha dicho que las mates no son bonitas? Hoy os voy a enseñar que el arte y las matemáticas están muy relacionadas. En la anterior entrada vimos el teorema de Pitágoras, y con este mismo teoremas podemos hacer estructuras muy chulas. Una forma de representar dicho teorema es mediante la siguiente figura: Aquí tenemos un cuadrado y sobre uno de sus lados hemos dibujado un triángulo rectángulo, y sobre cada uno de los catetos del triángulo dibujamos otros cuadrados. Si vamos repitiendo este proceso sobre los cuadrados más pequeños iremos construyendo un plano fractal, es decir un objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas. El Árbol de Pitágoras fueconstruido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman(1891-1961), en Holanda en 1942. En el caso de que el triangulo rectángulo que usamos sea isósceles (los dos catetos del triángulo miden lo mismo), obtenemos un árbol de Pitágoras centrado: Y en el caso de no usar un triángulo isósceles, el árbol será descentrado obteniendo estructuras como esta:
Y ahora si dotamos a los cuadrados de volumen y los convertimos en cubos, ¡tendremos nuestros arboles!!
Y así es como a partir de una formula creamos arte 😉. Hasta la próxima catetos!!
Hoy vamos a hablar sobre el teorema de Pitágoras. Éste hombre, hace muchos años descubrió un hecho asombroso sobre los triángulos rectángulos: Si el triangulo tiene un angulo de 90º y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ¡El cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! Y si no lo creéis, os invito a ver el vídeo y hacerlo vosotros mismos con cualquier cosa que encontréis por casa...
Cuando Pitagoras descubrió esto (no con legos...) estableció la siguiente formula:
Bueno, pero realmente para qué sirve? Pues, si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. ¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!
Ahora puedes usar el teorema de Pitagoras para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c = √169
c = 13
a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
Y para terminar os dejo otro vídeo con distintas comprobaciones de que el teorema de Pitagoras funciona y...cuidado, que también hipnotiza:
Hoy vamos a hacer un paréntesis. Ya sabemos que en la historia ha habido grandes matemáticos que nos han dejado un gran legado de sabiduría. ¿Pero... que pasa con las mujeres?? ¿A caso no hubo mujeres matemáticas? Pues sí, unas cuantas. Las mujeres, han tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirse en el mundo de la ciencia y sobre todo en las matemáticas. Por éste motivo me parece muy importante dedicarles un apartado especial donde nombrarlas y poner algunos ejemplos de estas mujeres valientes.
HIPATÍA
Nació alrededor del año 370 y murió en el 415 d.C. Fué hija de Teón, uno de los hombres más sabios de Alejandría yes la primera mujer nombrada en la historia de las matemáticas. Es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes (otro gran matemático), y por haberremplazado a su padre en su cátedra en la escuela de Alejandría.
Los habitantes de Alejandría estaban poco acostumbrados a que una mujer tuviera tantainfluencia en los medios científicos y políticos, y la veían más bien como una hechicera (vamos, que pensaban que era una bruja).
Más tarde fue acusada por los ciudadanos de influir sobre el gobernador de la ciudad, para que éste estuviera en contra de la cristiandad, así pues en el año 415 fue martirizada y asesinada por un grupo de cristianos fanáticos encabezados por unos monjes.
Esa época (comienzo de la Edad Media) supuso una paralización en el desarrollo de las matemáticas del mundo occidental.
MARÍA GAETANA AGNESI
María G. Agnesi nació en Milán en 1718, y murió también en Milán en 1799, fue una
distinguida lingüista , matemática y filósofa; remplazó a su padre en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bologna cuando éste estuvo enfermo, y fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En 1748, se publicó su libro "Instituzioni Analithe" sobre cálculo diferencial, que fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante muchos años.
Fue conocida también como La Bruja de Agnesi (que manía con las brujas) por confundir en su libro la palabraversoria (nombre latino de la curva de una función), por versiera otra palabra que significa abuela del diablo o bruja, de ahí viene el nombre adoptado también por la curva; La Bruja de Agnesi, cuya ecuación es :
SOPHIE GERMAIN
Sophie Germain nació en 1776 en París y murió también en París en 1831. Empezó a introducirse en las matemáticas a los 13 años en la biblioteca de su padre, tras leer cómo murió Arquímedes a manos de un soldado al no responderle cuando estaba ensimismado con un
problema, esto la decidió a conocer las matemáticas cuando pensó: ¿qué cosa tan maravillosa podía abstraer a una persona hasta dejarse matar? Al ser mujer tuvo muchas dificultades (como no), la primera en su propia familia. A los 18 años quiso entrar en "L'Ecole Polytechnique", pero no admitían a mujeres. A través de unos amigos que le pasaban los apuntes de las clases, al final del semestre Shopie presentó una memoria con un nombre masculino, "M. LeBlanc". El profesor Lagrange, uno de los más importantes matemáticos de la época quedó impresionado por la calidad del trabajo de "Monsieur LeBlanc" (Monsieur es "señor" en francés) y quiso conocerlo personalmente. Cuando vio que se trataba de una joven quedó muy sorprendido pero reaccionó bien y pese a ser mujer, la introdujo en su círculo de investigadores. En 1801 presentó unos resultados interesantes sobre la teoría de números firmando con su sobrenombre, a partir de entonces estableció con Gauss, el gran matemático alemán, una correspondencia frecuente. Más tarde Sophie hizo descubrimientos importantes en teoría de números, de física , matemática, acústica y elasticidad. Iba a recibir el título de Doctor Honoris Causa en Gotinga pero murió un mesantes de la fecha.
EMMY AMALIE NOETHER
Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA. Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta.
El padre de Emmy fue Max Noether, un distinguido matemático y profesor en Erlangen. Su
madre fue Ida Kanf Mann. Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de piano y demostró interés por la danza . En 1900 obtuvo el certificado de profesora de inglés y de francés en la escuela de chicas en Baviera. Decidió un modo de vida distinto al de las demás mujeres de su época, estudiar matemáticas en la universidad, un camino lleno de dificultades para una mujer. En estos años, en Alemania, las mujeres no podían matricularse en las universidades de manera oficial y tenía que solicitar permiso a cada profesor para asistir a su asignatura. Noether obtuvo el permiso en la Universidad de Erlangen ( 1900-1902). Después fue a la Universidad de Gotinga. Entre 1903-1904 asistió a clases de matemáticos tan importantes como Blumethal, Hilbert, Klein y Minkowski. En 1904, Noether obtuvo permiso para matricularse en Erlanger y en 1907 obtuvo el doctorado bajo la dirección Paul Gordan. Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido que obtuviese una plaza como profesora e investigadora en la universidad pero no pudo ser ¡por ser mujer!. Estuvo un tiempo trabajando con su padre. La reputación de Noether creció cuando aparecieron sus publicaciones. En 1908 fue elegida miembro del círculo Matemático de Palermo. En 1909 llegó a ser miembro de Dents the Mathematiker Vereiningung. Hilbert (padre de la teoría de relatividad junto a A.Einstein) y Klein pidieron a Emmy que regresara a Gotinga y mantuvieron una dura pugna con las autoridades académicas para que le concedieran una plaza. Entre tanto ella dio cursos bajo el nombre de Hilbert hasta que en 1919 consiguió una plaza. Los trabajos de Noether continuaron y tuvieron importante influencia en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de la relatividad, aunque la mayoría de sus ideas fueron publicadas por alumnos suyos y no por ella misma.
SOF'JA ALEKSADROVNA JANOVSKAJA
Nació el 31 de Enero de 1896 en Polonia y murió el 24 de Octubre de 1966 en Moscú. Su familia se trasladó a Odessa cuando ella era joven y allí se educó en los clásicos y las matemáticas.En los primeros años de la revolución rusa tomó parte activa en la política llegando a ser editora del periódico " Kommunist" en Odessa. En 1923 volvió a su estudios ocupándose de seminarios en la Universidad Estatal de Moscú. Cerca de 1931 fue profesora allí y cuatro años después recibió un doctorado. Janovskaja trabajó en la filosofía y lógica de las matemáticas. Su trabajo en lógica matemática tuvo importancia en el desarrollo de la misma en la antigua Unión Soviética. La historia de las matemáticas fue otro tema que trató Janovskaja e hizo diversas publicaciones. (Geometría de Descartes, matemáticas egipcias, paradoja de Zenón de Elea,... etc).
Ya sabéis catetos! Hay que luchar por lo que se quiere. Para ello hay que arriesgar, atreverse y aprender de los errores que vayamos cometiendo.
En una entrada anterior pudimos ver en qué consistía un triángulo rectángulo. Estos triángulos están formados por dos catetos (el de abajo se llama adyacente y el otro se llama opuesto) y una hipotenusa. En muchas ocasiones muchos alumnos y alumnas tenéis problemas para identificarlos (si yo también los tuve) así que os voy a poner una imagen (la he pintado yo, así que es un poco cutre) con la que estoy segura que identificareis la hipotenusa:
Si... la hipopotenusa 😁. La hipopotenusa es el lado más largo del triángulo y siempre tiene como ángulo opuesto el ángulo recto. Al ser el lado más grande es el único donde nuestro hipopótamo podrá echarse una siesta.
También hay que tener en cuenta que en muchos sitios nombran la hipotenusa con una 'x'. Nunca os fiéis ya que los nombres pueden cambiar. En éste dibujo por ejemplo la he nombrado con la letra 'c', así que es muy importante saber identificar cuales son los catetos, la hipotenusa y el ángulo recto sin hacer caso de las letras que nos pongan.
Pues nada catetos! Ahora toca buscar triángulos rectángulos como locos e identificar hipopotenusas!
En la anterior entrada vimos qué es un ángulo y para qué sirve. Con los ángulos también se pueden realizar operaciones, pero para ello es necesario pasarlo a grados. A continuación, veremos las diferentes operaciones que se pueden realizar:
Suma
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:
Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48' 35"; el segundo día, en 2h 45' 30". ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2h 48' 35"
+ 2h 45' 30"
4h 93' 65"
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:
4h 94' 5"
De la misma forma, 94' equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5h 34' 5"
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Ahora es tu turno. Intenta realizar las siguientes operaciones:
a. 56º 20' 40" + 37º 42' 15"
b. 125º 15' 30" + 24º 50' 40"
c. 33º 33' 33" + 17º 43' 34"
Resta
En la primera carrera un compañero de Luis corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3h 0' 0"
- 2h 48' 35"
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
2h 59' 60"
- 2h 48' 35"
0h 11' 25"
5. Realiza en tu cuaderno las restas de los ángulos del ejercicio anterior:
a. 56º 20' 40" - 37º 42' 15"
b. 125º 15' 30" - 24º 50' 40"
c. 33º 33' 33" - 17º 43' 34"
Multiplicación de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
* 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
6. Realiza los siguientes productos:
a. 56º 20' 40" * 2
b. 37º 42' 15" * 4
c. 125º 15' 30" * 2
División de un ángulo por un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
7. Realiza las siguientes divisiones:
a. 56º 20' 40" : 5
b. 37º 42' 15" : 4
c. 125º 15' 30" : 5
Por último, dejo dos vídeos donde se explica detalladamente como se realizan operaciones con ángulos:
Ahora ya sabéis, a practicar mucho y en caso de dudas dejad vuestros comentarios 😉. Hasta la próxima catetos!
